順列・組み合わせ計算機

順列・組合せ計算機とは？

順列・組合せ計算機は、集合からアイテムを配列または選択する方法の数を計算するツールです。順列は順序が重要な並べ方の数、組合せは順序を問わない選び方の数を求めます。確率論・統計学・組合せ論の基礎となる概念です。

使い方

1. アイテムの総数（n）を入力します。
2. 選ぶアイテム数（r）を入力します。
3. 「計算する」をクリックすると、順列 P(n,r) と組合せ C(n,r) の両方が公式・階乗値とともに表示されます。

基礎知識

順列：P(n, r) = n! ⁄ (n − r)! は順序ありの並べ方の数。組合せ：C(n, r) = n! ⁄ (r! × (n − r)!) は順序なしの選び方の数。階乗 n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1 は非常に速く増大します：10! = 3,628,800、20! は 2.4 × 10¹⁸を超えます。重複組合せは C(n+r−1, r) で計算します。パスカルの三角形は各項が C(n, r) に対応する視覚的表現です。

よくある質問

順列と組合せはいつ使い分けますか？

選択の順序が重要なとき（本の並べ替え、順位付け）は順列、順序が問題でないとき（委員会の選出、宝くじの番号選び）は組合せを使います。

階乗とは何ですか？なぜ急速に増大するのですか？

階乗（n!）は1からnまでのすべての正の整数の積です。各項がより大きくなるため指数関数より速く増大します。スターリングの近似では n! ≈ √(2πn) × (n⁄e)ⁿ です。

組合せの実用的な応用例は？

宝くじの当選確率：49個から6個を選ぶ場合 C(49, 6) = 13,983,816通り。カードの手札の確率計算、委員会選出、サンプリング手法はすべて組合せの計算に依存しています。